Filtre numerice

 

  Urmând pe R. Hemming să determinăm filtrul numeric în felul următor. Presupunem că consecutivitatea numerelor x(n) reprezintă un astfel de şir ale unor valori egal distanţate ale unei mărimi x(t), la care n – un întreg, iar t – variabila continuă. De obicei t reprezintă timpul, dar nu întotdeauna. Dacă consecutivitatea y(n) se calculă după formula:

 

Atunci această formulă determină un filtru numeric. Coeficienţii c_k şi d_k sunt constante. În aşa mod filtrul numeric este o combinaţie liniară de evaluări echidistante x_n-k a unei funcţii x(t), precum şi valorile calculate la ieşire y_n-k. Pentru fiecare următor n consecutiv, formula deplasează prezenta soluţie în direcţia fluxului de valori x_n-k.

În cazul când toţi coeficienţii d_k pentru y_n-k sunt egali cu zero, filtrul se numeşte nerecursiv, caz contrar recursiv. Un exemplu simplu de filtru nerecursiv îl serveşte filtrarea cu 1/5.

y_n= 1/5(x_n-2+x_n-1+x_n+x_n+1+x_n+2)

Aici pronunţat se observă legătura dintre filtrul numeric şi metodele de analiză numerică.

Toate operaţiile liniare asupra careva date sunt echivalente filtrării, iar orice operaţie liniară poate fi evaluată ca filtrare.

Un alt exemplu este oferit de formula filtrării după metoda pătratelor minime, obţinută din metoda parabolei cubice prin cinci valori ale lui x_k, cu utilizări ulterioare în calitate de filtrare a mărimilor parabolei în punctul din mijloc. Formula pentru o astfel de filtrare are forma:

y_n= 1/35*(-3*x_n-2+12*x_n-1+17x_n+12x_n+1-3x_n+2)

Exemplu unui filtru recursiv poate fi considerată formula trapezului pentru integrarea numerică:

y_m+1=y_n/2(x_n+x_n+1)

E evident că formula recursivă e capabilă să memorizeze toate datele precedente, astfel încât mărimea y_n din dreapta egalităţii se utilizează pentru calculul lui y_n+1 şi deci pentru y_n+2 etc.

În unele situaţii valorile x_k şi  şi y_k pentru k<0 sunt imposibile.

Formulele care nu utilizează aceste valori se numesc fizic realizabile. Această denumire duce la erori şi deci trebuie ocolită în discuţii, astfel încât filtrele fizic nerealizabile pot fi programate la calculatoarele numerice când datele se cunosc la începutul calculelor. Însă, pentru prognozarea valorilor viitoare de la unele date este nevoie de un filtru fizic deja realizat. Filtrele fizic realizabile se mai numesc şi cauzale din cauză că atunci când timpul e o variabilă independentă, ele reacţionează la rezultatele anterioare şi nu reacţionează la cele viitoare.

Pentru scopuri practice e necesar de analizat numai filtrele numerice de o lungime limitată. Aceasta înseamnă că în astfel de filtre se conţine un număr limitat de componente, iar pentru celelalte coeficienţii sunt nuli. De exemplu, dacă toţi d_k=0 şi numai numărul final c_k¹0, atunci noi avem un filtru nerecursiv de o lungime limitată. Chiar la un astfel de filtru se observă că pentru consecutivitatea de date de lungime limitată, nu vom putea calcula valoarea, apropiată terminalelor consecutivităţii. Aici are loc pierderea de date în sensul că la ieşire cantitatea de date e mai mică ca la intrare.

Se propune, ca coeficienţii filtrului c_k d_k sunt constanţi şi nu se schimbă cu timpul. Astfel de filtre se numesc invariante în timp şi se folosesc mai des în practică.

În acest mod încă odată se doreşte evidenţierea legăturii strânse între filtrarea numerică şi metodele numerice. Sunt cunoscute multe metode utilizate pentru filtrarea şi nivelarea datelor iniţiale, la fel şi pentru alegerea curbei, ce corespunde acestor date. În statistică, cercetărilor economice şi altora se utilizează medii mobile şi fluide. Filtrarea 1/5 este un exemplu tipic la cele spuse.

  La utilizarea acestei metode uneori mediile mobile duc la deplasarea valorilor care corespund unor curbe destul de lente.

 

Teoria şi proiectarea filtrelor numerice

 

 

Filtrele discrete pot fi împărţite în două clase în dependenţă de aceea dacă  amplitudinea semnalului primeşte valori continue sau un număr de valori finite. În aşa fel avem următoarele:

-                  Filtrul discret reprezintă un proces de calcul sau algoritm cu ajutorul căruia semnalul discretizat primit la intrare se transformă în alt semnal discret, primit la ieşire. Semnalul discret se precaută numai în şirul de puncte (de obicei amplasate uniform în timp sau spaţiu ca şi variabilele independente); în aceste puncte semnalul poate primi valori continue

-                  Filtrul numeric este un proces de calcul sau de algoritm în care semnalul numeric sau continuitatea de numere (primite la intrare) se transformă în altă continuitate de numere precăutate ca semnal numeric de ieşire. Numerele sunt limitate în punctele finale. Algoritmul poate fi realizat prin program în formă de subprograme de calcul pentru calculatoarele electronice sau dispozitive specializate. Termenul filtrului numeric se întrebuinţează şi la subprograme specifice de calcul şi asupra dispozitivului.

-                  Filtrul recursiv este un filtru discret care se realizează cu ajutorul dependenţei recurente, adică rezultatele de la ieşire a filtrului se determină ca o sumă calculată a rezultatelor anterioare de la ieşire sau/şi a rezultatelor curente de la intrare, de exemplu:

y(n) = b₀x(n) + b₁x(n-1) - b₂x(n-2) - a₁y(n-1) - a₂y(n-2).

-                  Filtrul nerecursiv reprezintă un filtru discret la care rezultatele de la ieşire a filtrului se determină ca suma calculată a rezultatelor anterioare şi curente numai de la ieşire. Exemplu:

y(n) = b₀x(n) + b₁x(n-1) + b₂x(n-2).

-                  Filtrul cu caracteristică finită a impulsului, prescurtat CFI este un filtrul a cărui caracteristică h(n) este egal cu zero în afara unor graniţe finite, adică h(n)=0 pentru n>N₁ şi n < N₂ în cazul când N₁ ³ N₂.

-                  Filtrul cu caracteristică infinită a impulsului, prescurtat CII, este filtrul descris mai sus pentru care N₁ =¥, sau N₂ =-¥, sau se satisfac ambele condiţii. În aşa fel, durata caracteristicii impulsului filtrului =¥. Necesar de marcat că polurile CFI pot fi plasate numai în două puncte (z=0) sau (z=¥), în acelaşi timp poziţia polurilor şi zerourilor CII nu au restricţii.

Termenii recursivi şi nerecursivi se recomandă de folosit în descrierea modului de realizare a filtrului, dar nu pentru a prezenta că caracteristica impulsului are lungimea infinită sau finită (măcar că în practică filtrele CFI de obicei se realizează în mod recursiv, iar filtrele CII în mod nerecursiv, totuşi CII pot fi realizate în acelaşi timp şi în mod nerecursiv, iar CIF în mod recursiv).

- Filtrul transversal este filtrul în care semnalul se formează pe calea sumării enumerărilor consecutiv a semnalului de la intrare, calculate cu ajutorul completului de coeficienţi, denumiţi coeficienţi de amplificare cu ieşiri suplimentare( tap gain). Dacă reţinerile semnalului se efectuează cu ajutorul liniei de reţinere atunci filtrul se numeşte filtru pe linia de reţinere cu ieşiri suplimentare (tapped delay line filter).

^-                   Filtrul zimţat (comb filter) se numeşte filtrul care efectuează înmulţirea şi împărţirea semnalelor liniei de reţinere de la intrare şi de ieşire pe M unităţi cu amplificarea unitară, formând caracteristica de transmitere H(z)=1±z^-M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fig.5 Schema bloc a filtrului zimţat

 

Acest filtru are M zerouri, uniform repartizaţi pe cercul unitar pe aria z astfel, încât caracteristica frecvenţei are M vârfuri identice şi M zerouri pe frecvenţe reale.

Filtrul Battervort  caracteristica amplitudinii maxim plată în punctul w=0 .

                                       

Filtrul Cebâşev. Tip 1 - pulsaţiile identice ale amplitudinii în segmentul de emitere, ameliorare monotonă în segmentul neemiterii:

                                       

Tipul 2- pulsaţii identice pe segmentul neemiterii, caracteristica amplitudinii plate maximă în punctul w=0:

                                       

Unde C_N(w) reprezintă polinomul Chebîşev.

 

 

Sisteme liniare, invariante la deplasare

 

Sistemul se determină matematic ca un operator care reflectă un şir de intrare x(n) în unul de ieşire y(n), ce matematic se scrie sub forma: y(n)=T[x(n)], iar grafic deseori e reflectat ca in figura de mai jos:

 

 

 

Clasele sistemelor discrete sunt determinate luând în consideraţie unele condiţii (limitări) asupra transformării T[ ]. Clasa de sisteme liniare se determină după principiul superpoziţiei. Dacă y₁(n) şi y₂(n) sunt răspunsuri la x₁(n) şi x₂(n) respectiv, atunci sistema este liniară atunci şi numai atunci când:

T[ax₁(n)+bx₂(n)]=aT[x₁(n)]+bT[x₂(n)]=ay₁(n)+by₂(n)    (1)

pentru oarecare constante a şi b. Luând în consideraţie că x₁(n) poate fi exprimată prin sumă de impulsuri unitare ( (2) ) şi condiţia (1) se presupune că sistema liniară poate fi complet caracterizată ca răspuns la un impuls unitar – caracteristică de impuls. Şi anume, fie h_k=(n) – răspunsul sistemului la impulsul unitar δ(n-k) în momentul n=k. Atunci din (2) obţinem: . Luând în consideraţie (1) putem scrie:

              (3)

În aşa mod conform (3) reacţia sistemului se poate de reprezentat prin răspunsuri la δ(n-k). Daca se pune numai condiţia de liniaritate, atunci h_k=(n) va fi dependentă de n, la fel şi de k, şi în acest caz mare folos de la expresia (3) pentru calcul nu se obţine. Un rezultat mult mai folositor se va obţine dacă vom mai introduce limitări privind invarierea (stabilitatea) la deplasări.

Clasa de sisteme invariante la deplasări se caracterizează de următoarea proprietate: dacă y(n) – este răspuns la x(n), atunci y(n-k) – este răspuns la x(n-k), unde k – număr întreg pozitiv sau negativ. Când indicele n este legat de timp, proprietăţii de invarietate la deplasări îi este raportată proprietatea de invarietate în timp. Din proprietatea de invarietate la deplasări reiese că dacă h(n) – este răspuns la δ(n), atunci răspuns la δ(n-k) va fi pur şi simplu h(n-k). De aceea (3) ia forma:

                                               (4)

Reiese că orice sistem invariant la deplasări complet este caracterizat de caracteristica de impuls h(n).

Dacă y(n) – un şir, valorile căruia sunt legate cu valorile a două şiruri h(n) şi x(n) prin expresia (4) putem spune că y(n) este combinaţia lui x(n) cu h(n) şi exprimăm y(n)=x(n)* h(n). Schimbând variabila în (4) obţinem altă expresie:

                              (5)

De aceea ordinea în care două şiruri intră în combinaţie nu are importanţă. Cu alte cuvinte un sistem liniar invariant la deplasări cu intrarea x(n) şi cu caracteristica de impuls h(n) va avea aceeaşi ieşire ca şi sistemul liniar invariant la deplasări cu intrarea h(n) cu caracteristica de impuls x(n).

Două sisteme liniare invariante la deplasări, incluse sub formă de cascadă, formează un sistem liniar invariant la deplasări egal cu combinaţia caracteristicilor de impuls a sistemelor de bază. Astfel încât ordinea în combinaţie nu are importanţă, caracteristica de impuls a sistemului rezultant nu depinde de ordinea în car sunt incluse sistemele de bază. Această proprietate se ilustrează în figura 2, unde sunt reprezentate trei sisteme care au aceleaşi proprietăţi de impuls.

Din (4) şi (5) reiese că două sisteme invariante la deplasări, incluse paralel, sunt echivalente unui singur sistem cu caracteristica de impuls egală cu suma caracteristicilor de impuls a sistemelor iniţiale. Aceasta este exprimat în figura 3.

 

 

 

 

 

 

Măcar că exprimarea combinaţiei sub formă de sumă este analogică integralei combinaţiei în teoria sistemelor liniare analoge, ar trebui de subliniat că combinaţia sub formă de sumă nu trebuie înţeleasă ca apropiere de integrala combinării.